係数が複素数の二次関数、二次方程式。

１　複素数解、複素係数

　前回までに、二次方程式の解や係数が複素数の場合について、いろいろ自分なりに考察してきた。
・二次方程式の係数が複素数の場合。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_21.html
・二次方程式と複素数解。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_22.html
・係数が複素数の二次方程式と複素数平面上の複素数解。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_73.html

２　複素数平面

　定義域が複素数平面$x+yi$、値域が二次関数の絶対値$|z|$の三次元グラフについて、定数の値を変化させてその動きを観察してみたい。

以下、$a, b, c, d, e, f, x, y$は実数、$z$は複素数とする。

$z = (a + bi)(x + yi)^2 + (c + di)(x + yi) + (e + fi)$

　$= (ax^2 - ay^2 - 2bxy + cx - dy + e) + (bx^2 - by^2 + 2axy + dx + cy + f)i$

$|z| = |(ax^2 - ay^2 - 2bxy + cx - dy + e) + (bx^2 - by^2 + 2axy + dx + cy + f)i|$

　$= \sqrt{(ax^2 - ay^2 - 2bxy + cx - dy + e)^2 + (bx^2 - by^2 + 2axy + dx + cy + f)^2}$

以下、適当な具体例を考える。

（１）係数が複素数の場合

　$a = 1, b = 1, c = 1, d = 1$のとき

$z = (1 + i)(x + yi)^2 + (1 + i)(x + yi) + (e + fi)$

　$= (x^2 - y^2 - 2xy + x - y + e) + (x^2 - y^2 + 2xy + x + y + f)i$

$|z| = |(x^2 - y^2 - 2xy + x - y + e) + (x^2 - y^2 + 2xy + x + y + f)i|$

　$= \sqrt{(x^2 - y^2 - 2xy + x - y + e)^2 + (x^2 - y^2 + 2xy + x + y + f)^2}$

（２）係数が実数の場合

　$a = 1, b = 0, c = -4, d = 0, f = 0$のとき

$z = (x + yi)^2 - 4(x + yi) + e$

　$= (x^2 - y^2 - 4x + e) + (2xy - 4y)i$

$|z| = |(x^2 - y^2 - 4x + e) + (2xy - 4y)i|$

　$= \sqrt{(x^2 - y^2 - 4x + e)^2 + (2xy - 4y)^2}$

３　二次関数の移動、二次方程式の複素数解

（１）係数が複素数の場合

$|z| = \sqrt{(x^2 - y^2 - 2xy + x - y + e)^2 + (x^2 - y^2 + 2xy + x + y + f)^2}$

定数$e, f$の値を適当に変化させて観察してみる。
・係数が複素数の二次関数（二次方程式）（オンライン補習塾 from 東三河）

（２）係数が実数の場合

$|z| = \sqrt{(x^2 - y^2 - 4x + e)^2 + (2xy - 4y)^2}$

定数$e$の値を適当に変化させて観察してみる。
・二次方程式と複素数（複素数平面と二次関数の絶対値のグラフ）（オンライン補習塾 from 東三河）

４　実数から複素数へ

　複素数は実数に虚数が加わることによる拡張であるけれど、それは数のさらなる抽象化による一般化と捉えることもできる。
高校数学では二次方程式について、実数解だけでなく虚数解もあることを学ぶ。
係数が実数の場合に限定するので、虚数解はルートの中がマイナスになる場合だと覚える。
二次関数によるその表現は、$x$軸との共有点の有無だけ確認すれば済む。

しかし、係数が複素数の場合は複雑になり、二次方程式の複素数解も、二次関数によるその表現も複雑になる。
上記の動画では、係数が実数の場合は二次関数の動きが規則的で、係数が複素数の場合は二次関数の動きが不規則に見える。

高校数学からの発展として見れば、二次方程式（二次関数）の係数を実数から複素数にすると複雑になると理解できる。
しかし、そもそも複素数という一般的な数の世界の中で、係数が実数に限定された場合までを高校数学では教えていると捉えることもできる。

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