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係数が複素数の三次関数、三次方程式。

１　三次関数、三次方程式

　最近、三次方程式の解についての記事を書いた。
・浴槽のお湯は何リットル？：https://tanakah17191928.blogspot.com/2024/09/blog-post.html
・バケツの水は何リットル？：https://tanakah17191928.blogspot.com/2024/09/blog-post_3.html

ついでに係数が複素数の場合について考察してみたい。

２　複素数平面

　定義域が複素数平面$x + yi$、値域が三次関数の絶対値$|z|$の三次元グラフについて、定数の値を変化させてその動きを観察してみたい。
以下、$a, b, c, d, e, f, g, h, x, y$は実数、$z$は複素数とする。

$z = (a + bi)(x + yi)^3 + (c + di)(x + yi)^2 + (e + fi)(x + yi) + (g + hi)$

　$= (a + bi)(x^3 + 3x^2 yi + 3xy^2 i^2 + y^3 i^3) + (c + di)(x^2 + 2xyi + y^2 i^2) + (e + fi)(x + yi) + (g + hi)$

　$= (a + bi)(x^3 + 3x^2 yi - 3xy^2 - y^3 i) + (c + di)(x^2 + 2xyi - y^2) + (e + fi)(x + yi) + (g + hi)$

　$= ax^3 + 3ax^2 yi - 3axy^2 - ay^3 i + bx^3 i + 3bx^2 yi^2 - 3bxy^2 i - by^3 i^2$

　　　$+ cx^2 + 2cxyi - cy^2 + dx^2 i + 2dxyi^2 - dy^2 i + ex + eyi + fxi + fyi^2 + g + hi$

　$= ax^3 + 3ax^2 yi - 3axy^2 - ay^3 i + bx^3 i - 3bx^2 y - 3bxy^2 i + by^3$

　　　$+ cx^2 + 2cxyi - cy^2 + dx^2 i - 2dxy - dy^2 i + ex + eyi + fxi - fy + g + hi$

　$= (ax^3 - 3axy^2 - 3bx^2 y + by^3 + cx^2 - cy^2 - 2dxy + ex - fy + g)$

　　　$+ (3ax^2 yi - ay^3 i + bx^3 i - 3bxy^2 i + 2cxyi + dx^2 i - dy^2 i + eyi + fxi + hi)$

　$= (ax^3 - 3bx^2 y - 3axy^2 + by^3 + cx^2 - 2dxy - cy^2 + ex - fy + g)$

　　　$+ (3ax^2 y - ay^3 + bx^3 - 3bxy^2 + 2cxy + dx^2 - dy^2 + ey + fx + h)i$

　$= (ax^3 - 3bx^2 y - 3axy^2 + by^3 + cx^2 - 2dxy - cy^2 + ex - fy + g)$

　　　$+ (bx^3 + 3ax^2 y - 3bxy^2 - ay^3 + dx^2 + 2cxy - dy^2 + fx + ey + h)i$

$|z| = \sqrt{
\begin{array}{l}
(ax^3 - 3bx^2 y - 3axy^2 + by^3 + cx^2 - 2dxy - cy^2 + ex - fy + g)^2 \\
\quad + (bx^3 + 3ax^2 y - 3bxy^2 - ay^3 + dx^2 + 2cxy - dy^2 + fx + ey + h)^2
\end{array}
}$

以下、適当な具体例を考える。

（１）係数が実数の場合

　$a = 1, b = 0, c = 1, d = 0, e = -4, f = 0, h = 0$のとき

$z = (x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 - 4x + g) + (3x^2 y - y^3 + 2xy - 4y)i$

$|z| = \sqrt{(x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 - 4x + g)^2 + (3x^2 y - y^3 + 2xy - 4y)^2}$

（２）係数が複素数の場合

　$a = 1, b = 1, c = 1,d = 1, e = -4, f = 1$のとき

$z = (x^3 - 3x^2 y - 3xy^2 + y^3 + x^2 - 2xy - y^2 - 4x - y + g)$

　　　$+ (x^3 + 3x^2 y - 3xy^2 - y^3 + x^2 + 2xy - y^2 + x - 4y + h)i$

$|z| = \sqrt{
\begin{array}{l}
(x^3 - 3x^2 y - 3xy^2 + y^3 + x^2 - 2xy - y^2 - 4x - y + g)^2 \\
\quad + (x^3 + 3x^2 y - 3xy^2 - y^3 + x^2 + 2xy - y^2 + x - 4y + h)^2
\end{array}
}$

３　三次関数の移動、三次方程式の複素数解

（１）係数が実数の場合

$|z| = \sqrt{(x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + x + g)^2 + (3x^2 y - y^3 + 2xy + y)^2}$

定数$g$の値を適当に変化させて観察してみる。
・三次方程式と複素数（係数は実数）（オンライン補習塾 from 東三河）

（２）係数が複素数の場合

$|z| = \sqrt{
\begin{array}{l}
(x^3 - 3x^2 y - 3xy^2 + y^3 + x^2 - 2xy - y^2 - 4x - y + g)^2 \\
\quad + (x^3 + 3x^2 y - 3xy^2 - y^3 + x^2 + 2xy - y^2 + x - 4y + h)^2
\end{array}
}$

定数$g, h$の値を適当に変化させて観察してみる。
・三次方程式と複素数（係数は複素数）（オンライン補習塾 from 東三河）

４　参考

・係数が複素数の二次関数、二次方程式。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_23.html

・三次方程式・三次関数（まとめ記事）に戻る。

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